1 часть. Двоичная система счисления
Автор видео: учитель информатики Купепова Н.В. г.Соль- Илецк Оренбургской области
Сложение и умножение двоичных чисел (видео)
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Aq = ± (аn - 1 • qn - 1 + аn - 2 • qn - 2 + ... + а0 • q0 + а-1 • q-1 + ... + a-m • q-m). (1)
Здесь: А — число;
q — основание системы счисления;
аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
an-1an-2...a1a0=an-1 • 2n-1 + an-2 • 2n-2 + ... + a0 • 20. (1')
Например:
100112 = 1 • 24 + 0 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20 = 24 + 21 + 20 = 1910.
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1').
Разделим an-1 • 2n-1 + an-2 • 2n-2 + ... + a0 • 20 на 2. Частное будет равно an-1 • 2n-2 + ... + a1, а остаток будет равен а0.
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а1.
Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:
а0, а1, а2, ..., аn,
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.
Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
1.1.6. Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается на ис пользовании следующих таблиц сложения и умножения:
+ 0 1 X 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
+ 1 0 0 1 + 1 1 1 1
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
* 1 0 1 1
1 0 1
+ 1 0 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1 1 1
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
Комментариев нет:
Отправить комментарий